L'énigme des 100 casiers : combien restent ouverts à la fin ?
Dans le problème des 100 casiers : 100 élèves passent devant 100 casiers numérotés 1–100 ; l’élève n change l’état de chaque casier dont le numéro est divisible par n. Combien de casiers sont ouverts à la fin ?
Questions fréquentes
Quelle est la réponse à l'énigme des 100 casiers ?
10 casiers restent ouverts. Un casier reste ouvert seulement si son état a été changé un nombre impair de fois, ce qui arrive uniquement pour les carrés parfaits : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100 — soit dix casiers au total.
Pourquoi seuls les casiers carrés parfaits restent-ils ouverts ?
Chaque casier est commuté une fois par diviseur de son numéro. Les diviseurs vont par paires, donc la plupart des nombres en ont un nombre pair et le casier finit fermé. Les carrés parfaits ont un diviseur non apparié (la racine carrée), d'où un nombre impair de changements : le casier reste ouvert.
Comment résoudre le problème des 100 casiers ?
Comptez combien de fois chaque casier est commuté, soit une fois par diviseur de son numéro. Comme seuls les carrés parfaits ont un nombre impair de diviseurs, il suffit de compter les carrés parfaits de 1 à 100 : il y en a 10, donc 10 casiers restent ouverts.